考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质
考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为 M ，体积为 V 。如果这颗星球是一个球体，那么它的半径 R = \( \frac{4π}{3·3V} \)，星球表面上的重力加速度则为 g = \( \frac{GM}{R^2} \) = \frac{4π·GM}{3·3V}((4π) / (3V))2/3，其中 G 是万有引力常数。 考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大？最大值是多少？
答案下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。这个图形是一个稍微有些变形的球体，整个图形是一个以 z 方向为轴的旋转体，顶端的 m 点即是重力加速度最大的点，它的重力加速度为 g = (4/5)(15/4)1/3π2/3M / V2/3，只比球形星体的重力加速度大 2.6% 。这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。
解析这个问题的解法非常漂亮。首先，假设我们想要让星体表面上的某个点 m 的重力加速度最大，并且所受重力方向在 z 轴上，那么这个星体必然是沿 z 轴方向对称的。否则，取出不对称的一层，把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘，这将会让 m 点在竖直方向上的受力变大。不断这样做直到这个图形沿 z 轴完全对称，显然就得到了一个更优的形状。 接下来的步骤就真的神了。现在，在星体上取一个非常细的圆环，假设它的质量是 dM 。那么，这个圆环所贡献的重力加速度大小就是 G·dM·cosθ /r2 。如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会有新的 r 值和 θ 值。当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的位置，也就是说它的“微分”为 0 ，任何微小的变动都不会改变 m 的加速度。这就意味着， cosθ / r2 是一个常数。这个条件就确定出整个星体的形状。