趣味数学

答案28

解析 An=\( 2^n-n^2 \)

答案104729+104743

答案这堆桃子至少有3121只。

解析 第一只猴子扔掉1个，拿走624个，余2496个； 第二只猴子扔掉1个，拿走499个，余1996个； 第三只猴子扔掉1个，拿走399个，余1596个； 第四只猴子扔掉1个，拿走319个，余1276个； 第五只猴子扔掉1个，拿走255个，余4堆，每堆255个。 如果不考虑正负，-4为一解 考虑到要5个猴子分，假设分n次。 则题目的解: 5^n-4 本题为5^5-4=3121. 设共a个桃，剩下b个桃，则b=(4/5)((4/5)((4/5)((4/5)((4/5)(a-1)-1)-1)-1)-1)-1)，即b=（1024a-8404）/3125 ; a=3b 8 53*(b 4)/1024，而53跟1024不可约，则令b=1020可有最小解，得a=3121 ,设桃数x,得方程 4/5{4/5{4/5[4/5(x-1)-1]-1}-1}=5n 展开得 256x=3125n 2101 故x=(3125n 2101)/256=12n 8 53*(n 1)/256 因为53与256不可约,所以判断n=255有一解.x为整数,等于3121

答案4 , 13

解析我们先把他们说的话依次编号为S1，P1，S2。 设这两个数为x、y，和为s，积为p。 由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s≤41,因为如果＞41，那么P拿到41×（s-41）必定可以猜出s了。所以和s为{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，设这个集合为A。 1)假设和是11。 11=2+9=3+8=4+7=5+6，如果P拿到18，18=3×6=2×9，只有2+9落在集合A中，所以P可以说出P1，但是这时候S能不能说出S2呢？我们来看，如果P拿到24，24=6×4=3×8=2×12，P同样可以说P1，因为至少有两种情况P都可以说出P1，所以A就无法断言S2，所以和不是11。 2)假设和是17。 17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9， 很明显，由于P拿到4×13可以断言P1，而其他情况，P都无法断言P1，所以和是17。 3)假设和是23。 23=2+21=3+20=4+19=5+18=6+17=7+16=8+15=9+14=10+13=11+12，我们先考虑含有2的n次幂或者含有大质数的那些组，如果P拿到4×19或7×16都可以断言P1，所以和不是23。 4)假设和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以断言P1，所以和不是27。 5)假设和是29。如果P、S拿到13×16或7×22，P都可以断言P1，所以和不是29。 6)假设和是35。如果P、S拿到16×19或4×31，P都可以断言P1，所以和不是35。 7)假设和是37。如果P、S拿到8×29或11×26，P都可以断言P1，所以和不是37。 8)假设和是41。如果P、S拿到4×37或8×33，P都可以断言P1，所以和不是41。 综上所述：这两个数是4和13。

答案因为B可能有200块，也可能有50块，它们的可能性都是50%。那么B的期望值是200 x 50% + 50 x 50% = 125，比A的100元多。所以应该改选。

答案 证明：对 n 施归纳。只有一间办公室时，结论显然成立。下面假设我们已经有办法让任意 n-1 个办公室的灯全部打开。如果把其中某 n-1 个办公室的灯全打开后，发现剩下的那个办公室的灯正好也亮了，问题就解决了。否则，我们就相当于有办法同时改变任意 n-1 个办公室的电灯状态（并且不对剩下的那个办公室造成影响）。 考虑这样的操作：先改变除了办公室 A 以外的所有办公室的电灯状态，再改变除办公室 B 以外的所有办公室的电灯状态。这样下来的结果就是，只有办公室 A 、 B 的电灯状态真的被改变了，其它办公室的电灯状态又都变了回去。也就是说，我们可以同时改变任意两个办公室的电灯状态了（并且不影响其它办公室）。 如果 n 是偶数，两个两个地把它们的灯打开，问题直接就解决了。麻烦的就是，如果 n 是奇数的话，该怎么办呢？要是有一个办公室正好有偶数个相关的办公室就好了，这样的话就可以先拉下它的开关，剩下灯没亮的办公室正好偶数个，问题也就解决了。下面我们就证明，如果 n 是奇数，那么一定存在一个办公室，它正好有偶数个相关办公室。 注意到，把所有办公室的相关办公室数加起来，结果一定是一个偶数（因为每个相关关系都被算了两次）。但是，我们一共有奇数个办公室，如果它们各自的相关办公室数目都是奇数，加起来也还是个奇数。因此，至少有一间办公室，它有偶数个相关办公室。这就完成了整个证明过程的最后一环。

答案答案是4和13